Exercice
Session normale 2017
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x)= x^2 +x-2+2lnx `
1) Vérifier que ` g(1)= 0 `
2) à partir du tableau des variations de `g` en dessous
Montrer que ` g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]` et ` 0 <= g(x) ` pour tout ` x >= 1 `
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[ ` par ` f(x)= x + (1-2/x)lnx `
et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` : unité ` 1 cm `
1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` et interpréter graphiquement le résultat obtenu
2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
b) Montrer que que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty ` une branche parabolique de direction la droite `(D) : y =x `
3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x) = (g(x))/x^2 `
b) En déduire que la fonction `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante e sur `[1,+infty[`
c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[`
4a) Résoudre dans l intervalle `]0,+infty[` l'équation `(1-2/x)lnx = 0 `
b) En déduire que `C_f` coupe la droite `(D)` en deux points dont on déterminera les cordonnées
c) Montrer que pour tout ` x in [1,2] : f(x) <= x ` et en déduire la position relative de la courbe `C_f` par rapport à la droite `(D)` sur l intervalle `[1, 2]`
5) Construire `(D)` et `C_f`
Partie 3
Soit `(u_n)` la suite numérique définie par :
` u_0 = sqrt(3) ` et `u_(n+1)= f(u_n)` pour tout ` n in N `
1) Montrer que par récurrence que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `
2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante
3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis déterminer sa limite
Partie 4
1) Montrer que `int_1^2 (lnx)/x dx = (ln2)^2/2 `
2) Montrer que la fonction `H : x-> 2lnx -x ` est une primitive de la fonction `h : x-> 2/x -1` sur `]0,+infty[`
3) Montrer à l'aide d'une intégration par parties que `int_1^2 (2/x-1)lnx dx = (1-ln2)^2 `
4) Calculer en `cm^2` , l 'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , la droite d'équation ` y = x ` et les droites d'équations ` x= 1` et ` x= 2`
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x)= x^2 +x-2+2lnx `
1) Vérifier que ` g(1)= 0 `
2) à partir du tableau des variations de `g` en dessous
Montrer que ` g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]` et ` 0 <= g(x) ` pour tout ` x >= 1 `
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[ ` par ` f(x)= x + (1-2/x)lnx `
et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` : unité ` 1 cm `
1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` et interpréter graphiquement le résultat obtenu
2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
b) Montrer que que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty ` une branche parabolique de direction la droite `(D) : y =x `
3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x) = (g(x))/x^2 `
b) En déduire que la fonction `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante e sur `[1,+infty[`
c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[`
4a) Résoudre dans l intervalle `]0,+infty[` l'équation `(1-2/x)lnx = 0 `
b) En déduire que `C_f` coupe la droite `(D)` en deux points dont on déterminera les cordonnées
c) Montrer que pour tout ` x in [1,2] : f(x) <= x ` et en déduire la position relative de la courbe `C_f` par rapport à la droite `(D)` sur l intervalle `[1, 2]`
5) Construire `(D)` et `C_f`
Partie 3
Soit `(u_n)` la suite numérique définie par :
` u_0 = sqrt(3) ` et `u_(n+1)= f(u_n)` pour tout ` n in N `
1) Montrer que par récurrence que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `
2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante
3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis déterminer sa limite
Partie 4
1) Montrer que `int_1^2 (lnx)/x dx = (ln2)^2/2 `
2) Montrer que la fonction `H : x-> 2lnx -x ` est une primitive de la fonction `h : x-> 2/x -1` sur `]0,+infty[`
3) Montrer à l'aide d'une intégration par parties que `int_1^2 (2/x-1)lnx dx = (1-ln2)^2 `
4) Calculer en `cm^2` , l 'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , la droite d'équation ` y = x ` et les droites d'équations ` x= 1` et ` x= 2`
4 réponses
Partie 1
On a ` g(1)= 1 +1-2 +2ln1 = 2-2 = 0 `
1) Vérifier que ` g(1)= 0 `
On a ` g(1)= 1 +1-2 +2ln1 = 2-2 = 0 `
Avez vous une question
2) Montrer que ` g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]` et ` 0 <= g(x) ` pour tout ` x >= 1 `
Soit ` x in ]0,1] => x <= 1 `
` => g(x) <= g(1) ` car `g` est croissante sur `]0,1]`
`=> g(x) <= 0 `
Soit ` x in [1,+infty[ `
`=> 1 <= x `
` => g(1) <= g(x) ` car `g` est croissante sur `[1,+infty[`
`=> 0 <= g(x) `
Avez vous une question
Partie 2
On a ` lim_{ x to 0^+} (1-2/x)= -infty ` et ` lim_{ x to 0^+} lnx = -infty `
`=> lim_{ x to 0^+} (1-2/x)lnx = +infty `
`=> lim_{ x to 0^+} x + (1-2/x)lnx = +infty ` car ` lim_{ x to 0^+} x = 0 `
Interprétation géométrique
la droite d'équation ` x = 0 ` est une asymptote verticale de la courbe `C_f `
1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` et interpréter graphiquement le résultat obtenu
On a ` lim_{ x to 0^+} (1-2/x)= -infty ` et ` lim_{ x to 0^+} lnx = -infty `
`=> lim_{ x to 0^+} (1-2/x)lnx = +infty `
`=> lim_{ x to 0^+} x + (1-2/x)lnx = +infty ` car ` lim_{ x to 0^+} x = 0 `
Interprétation géométrique
la droite d'équation ` x = 0 ` est une asymptote verticale de la courbe `C_f `
Avez vous une question
2 a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
On a ` lim_{ x to +infty} (1-2/x)= 1 ` et ` lim_{ x to +infty} lnx = +infty `
`=> lim_{ x to +infty} (1-2/x)lnx = +infty `
`=> lim_{ x to +infty} x + (1-2/x)lnx = +infty ` car ` lim_{ x to +infty} x = +infty `
Avez vous une question